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外接球内切球的9大类题型梳理

Mathe 1040 0

与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.例如:球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.

  1. 球的表面积为$S=4πR^{2}$
  2. 球的体积为$V=\frac{4}{3}πR^{3}$
    多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略
    (1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题.
    (2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
    (3)若球面上4点P,A,B,C构成的3条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,用$4R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$求解.
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